Поэтому включаем логику и тригонометрический круг. Рисуем круг и отмечаем на нём эти самые углы: 0
Таблица синусов и косинусов. Автор: Сергей Смирнов. Дата: 1. 4. 0. Таблица синусов и косинусов. Внимание! К этой теме имеются дополнительныематериалы в Особом разделе 5.
Для тех, кто сильно . А именно - привыкаем работать с необходимыми табличными значениями без механической зубрёжки. И, разумеется, без бумажек- шпаргалок.
Голова нужна не только шапку носить, да..)Итак, в предыдущем уроке мы разбили углы, про которые нужно знать всё, на три группы. Первая группа - углы, попадающие точно на оси координат. Вторая группа - всего три угла: 3. Значения таблицы синусов и косинусов для этих трёх углов приходится- таки вызубрить. Аж все три значения!) Осталась последняя, третья группа углов. Третья группа углов.
Вот эти девять углов: 1. Надо железно знать таблицу синусов и косинусов для этих углов.
Фактически, это легальная шпаргалка! Нарисовал тригонометрический круг – и сразу увидел ответы! Тригонометрический круг - самая удобная шпаргалка по тригонометрии - Duration: 4:21. Анна Малкова 6,216 views.
А надо знать значения таблицы синусов и косинусов и за этими пределами.. Нас спасут житейская смекалка и тригонометрический круг!
0:07 - Построение тригонометрического круга Тригонометрический круг - самая удобная шпаргалка по тригонометрии - Duration: 4:21. Ленятся люди рисовать круг. Стесняются, что плохо получится, что ли!? Тригонометрический круг - легальная шпаргалка - нужен вам, . Фактически, это легальная шпаргалка! Нарисовал тригонометрический круг – и сразу увидел ответы! Так давайте освоим, . Тригонометрический круг; Тригонометрические формулы и тригонометрические Шпаргалка : тригонометрия + графики + др.формулы, 216 Кбайт, 6739. Тригонометрический круг. Синус, косинус, тангенс. Тригонометрический круг - 1 · Геометрия
Я же предупреждал, что с помощью круга все эти несусветные проблемы (и не только эти!) можно решить за пару минут. Слегка скучая.) В конце предыдущего урока я задавал вопрос: чего особенного в этих девяти углах? Кто сообразил, тот справится.
Кто не сообразил, тот прямо сейчас узнает тайну этих углов и тоже справится! Внимайте! Дело в том, что все эти углы составлены из углов предыдущих двух групп. Нет, можно конечно разбить углы на сумму/разность каких попало, но оно нам совсем не надо.) Надо: один угол - из первой группы и один из второй. И как же мы будем использовать этот замечательный факт? Просто складывать- вычитать синусы? Синус суммы углов вовсе не равен сумме синусов каждого угла! Запомните это накрепко!
Для суммы есть своя длинная формула. Но такое особое устройство углов позволит нам находить их синусы- косинусы одной левой.) Без таблицы синусов и косинусов. Здесь нет никакой особой теории. Поэтому показываю на примерах.
Итак, пусть нам надо найти косинус 1. Подозреваю, что далеко не каждый сразу и уверенно вспомнит это значение таблицы синусов и косинусов. Ох, не каждый..) А если и вспомнит, сомнения будут грызть. Посему работаем надёжно! Прежде всего соображаем, из каких особых углов он состоит.
Рекомендую в качестве угла из первой группы выбирать 1. Легко сообразить, что: 1. Разложился угол классически. Один - из первой группы, другой - из второй.
Теперь нарисуем угол 1. На глаз нарисуем, примерно. Но рисовать будем, глядя на разложение: 1. Без этих знаний - никак.. Получаем вот такую картинку: Зелёным цветом обозначен нужный нам угол в 1. А вот красным цветом я обозначил вспомогательный угол в 3.
Правда эти красненькие 3. Давайте нарисуем правильные 3. Отсчитанные от положительной полуоси Х. Наводим мышку на рисунок (или касаемся картинки на планшете) и видим правильный синий угол в 3.
Как вам кажется, в каком соотношении находятся cos. Косинус 1. 50 градусов равен по величине косинусу 3. Треугольнички слева- справа одинаковые, косинусы равны по величине. Просто мы на тригонометрическом круге просчитали непонятный косинус 1. Не заглядывая в таблицу синусов и косинусов. Так можно делать всегда. Ответ: А если нужен синус 1.
Опять рисуем круг, угол в 1. На этот раз отмечаем его синус на оси У. Вот так: Опять рисуем правильный угол в 3. Наведите курсор на картинку, чтобы увидеть это сложное построение.) Что мы видим? Мы видим, что синусы углов 1.
Пусть даже и углы по 3. Всё равно, треугольнички - одинаковые. Ответ: Улавливаете суть?
Любой угол третьей группы всегда разбивается на сумму/разность угла 1. Стало быть, на тригонометрическом круге мы всегда получим вспомогательный угол 3. Без разницы, в какой четверти получится этот вспомогательный угол. Достаточно нарисовать правильный угол (в первой четверти), найти одинаковые треугольнички и сравнить по картинке их синусы- косинусы. Тут ошибиться очень трудно! И не надо зазубривать таблицу синусов и косинусов для этих девяти углов.
Есть тут, правда одна проблемка. Ленятся люди рисовать круг.
Стесняются, что плохо получится, что ли!? Здесь не требуются линейка, циркуль, транспортир и прочие цветные карандаши. Не черчение, чай.. Так и быть, я личным примером покажу, как выглядит все это рисование в реале! Пусть мне надо определить cos.
Без таблицы синусов и косинусов. За пять секунд я соображаю, что: 2. Зато я чётко вижу, где располагается мой вспомогательный угол в 6. Я знаю, что треугольнички, образованные вспомогательным углом в 6.
Пусть даже на картинке они, гм.. Посему из этой кошмарной картины я надёжно вывожу (за 2. Безо всякой таблицы синусов и косинусов: cos. Как вы думаете, какую функцию и какого положительного угла я искал вот по этому наскальному рисунку?)Если поняли, вам можно начинать изучать иероглифы.) Ответ будет чуть ниже. Итак, осталось всего ничего. Разобраться с углами, которые больше 3.
Если они приводятся к углам второй группы (3. Ну, не совсем знать - таких углов бесконечное множество - но уметь их вычислять. Здесь всё просто.
Опять сплошная практика. Берём пример из начала урока.
Пусть нам надо определить sin. Понятно, что в этом угле сидит несколько полных оборотов по 3. Вот и выбросим эти полные обороты. Они никак не сказываются на тригонометрических функциях угла!
Только картину путают.. Еслиу нас на круге есть угол, скажем, в 4. Не поменяются значения синусов, косинусов и т. Определить количество полных оборотов очень просто.
Надо разделить величину угла (в нашем случае - 8. Хоть в уме, хоть уголком. Радует то, что до конца делить не надо! Нам же количество целых оборотов надо знать, а не дробных. Вот и делим. Получаем два с копейками.
Копейки нас не интересуют, их даже и считать не нужно. А два полных оборота - это 2 .
Отнимаем: 8. 55 - 7. Хвостик получился 1. А это классический угол третьей группы! Так нужно поступать всегда. Откинуть от большого значения угла все полные обороты и работать с оставшимся хвостиком.
Кстати, если этот хвостик не попадает ни в какую группу (2. Или задание - более сложное и рассчитано на какие- то дополнительные преобразования. Вернёмся к наскальному рисунку.) Дойти до правильного ответа можно по такой цепочке: 1. Пунктир идёт на ось У.
Значит, автора интересует синус угла! Угол в первой четверти отпадает. Это явно угол из таблицы синусов и косинусов, автор его и так знает. Может быть..) Да и зачем тогда отмечен угол в четвёртой четверти!? Значит, автора интересует синус некоего угла из четвёртой четверти!
Отмеченные дужками углы, очевидно, должны быть равны.. Угол в первой четверти всяко меньше 6. Стало быть, это 3. Угол в четвёртой четверти..
Возможны 2 варианта.. Но автора интересует положительный угол.. На наскальном рисунке изображена попытка найти sin. Возможно, автор даже и определил его.)sin. Намекаю, что таблицу синусов и косинусов можно использовать только для проверки! Тонко так намекаю..) Предупреждаю, что никаких особых формул и тригонометрических преобразований здесь не требуется.
Просто определяем значения и подставляем в пример. Чтобы горе от ума не получилось..)Вычислить: cos. Путаница с отрицательными значениями? Самое главное - правильно нарисовать (отсчитать) угол на круге.
Здесь вам поможет урок: Как нарисовать (отсчитать) любой угол на тригонометрическом круге в градусах. Самые азы, конечно, но куда без них?)Усложним задачу. Работаем по- взрослому. Именно эта мера угла является основной в солидной математике.
Вычислить: Ответы (в беспорядке): 0,5; 1,5; - 2; - 0,5; 0,2. Что, с радианами сложнее, да?
В градусы переводить, потом лишние обороты отбрасывать.. Да, хлопотное занятие! Кстати, в этом уроке мы только с градусами работали, если кто заметил..) Это специально. Только для тех, кто добрался до этих строк!) Дело в том, что есть очень простой практический приём работы с радианами. Да такой приём, что работа с радианами становится проще, много проще работы с градусами! Гораздо проще и надёжнее работать с радианами напрямую. Этот практический приём описан в уроке: Как нарисовать (отсчитать) любой угол на тригонометрическом круге в радианах.
Подытожим тему. В этом уроке кто хотел, тот научился лихо крутить по кругу углы, откидывать полные обороты и легко определять необходимые значения таблицы синусов и косинусов без этой самой таблицы. Это солидный багаж для контрольных и экзаменов. Но самое главное в этом уроке - тренировка в работе с тригонометрическим кругом. Определять значения таблицы синусов и косинусов можно и без круга. По формулам приведения, о которых мы ещё поговорим. Но любая формула тригонометрии применима в своей узкой области. А круг помогает во всей тригонометрии.
Скажем, тригонометрические неравенства (а это задания уровня С!) решаются на 9. Круг лишним не бывает!) Освойте его, и тригонометрия будет дружить с вами. Предыдущая страница: Таблица синусов. Таблица тангенсов и котангенсов. Следующая страница: Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс? Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.) Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень.
Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.